Cho \(\left|x\right|\)\(\le3\) , \(\left|y\right|\)\(\le5\) ( x , y \(\in z\) ) . Biết x - y = 2 . Tìm x , y .
Cho \(0\le x,y,z\le3\) . Tìm GTLN của:
\(A=\sqrt{x^2+y\left(y-2x\right)}+\sqrt{y^2+z\left(z-2y\right)}+\sqrt{z\left(z-2x\right)+x^2}\)
\(A=\sqrt{x^2+y\left(y-2x\right)}+\sqrt{y^2+z\left(z-2y\right)}+\sqrt{x^2+z\left(z-2x\right)}\)
\(=\sqrt{x^2-2xy+y^2}+\sqrt{y^2-2yz-z^2}+\sqrt{x^2-2xz+z^2}\)
\(=\sqrt{\left(x-y\right)^2}+\sqrt{\left(y-z\right)^2}+\sqrt{\left(z-x\right)^2}\)
\(=x-y+y-z+z-x\)
\(=0\)
Cho x,y,z>0. CMR: \(16xyz\left(x+y+z\right)\le3\sqrt[3]{\left(x+y\right)^4\left(y+z\right)^4\left(z+x\right)^4}\)
Bài 1: Cho a,b,c dương
a) Tìm Max \(P=\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ca}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\)
b) Tìm Max \(Q=\frac{a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}+\frac{b^2}{5b^2+\left(c+a\right)^2}+\frac{c^2}{5c^2+\left(a+b\right)^2}\)
Bài 2: Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn \(x+y+z=\frac{3}{2}\).Chứng minh rằng \(x+2xy+4xyz\le2\)
Bài 3: Cho a,b thỏa mãn \(\left(x+y\right)^3+4xy\ge2\). Tìm Min \(P=3\left(x^4+y^4+x^2y^2\right)-2\left(x^2+y^2\right)+1\)
Bài 4: Cho x,y,z >0: \(x\left(x+y+z\right)=3yz\). Chứng minh: \(\left(x+y\right)^3+\left(x+z\right)^3+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\le5\left(y+z\right)^3\)
Bài 5:Cho a,b,c không âm thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2+abc=4\). CMR: \(a+b+c\le3\)
Bài 2: Ta có: x, y, z không âm và \(x+y+z=\frac{3}{2}\)nên \(0\le x\le\frac{3}{2}\Rightarrow2-x>0\)
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM dạng \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\), ta được: \(x+2xy+4xyz=x+4xy\left(z+\frac{1}{2}\right)\le x+4x.\frac{\left(y+z+\frac{1}{2}\right)^2}{4}=x+x\left(2-x\right)^2\)
Ta cần chứng minh \(x+x\left(2-x\right)^2\le2\Leftrightarrow\left(2-x\right)\left(x-1\right)^2\ge0\)*đúng*
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x,y,z\right)=\left(1,\frac{1}{2},0\right)\)
Bài 3: Áp dụng đánh giá quen thuộc \(4ab\le\left(a+b\right)^2\), ta có: \(2\le\left(x+y\right)^3+4xy\le\left(x+y\right)^3+\left(x+y\right)^2\)
Đặt x + y = t thì ta được: \(t^3+t^2-2\ge0\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t^2+2t+2\right)\ge0\Rightarrow t\ge1\)(dễ thấy \(t^2+2t+2>0\forall t\))
\(\Rightarrow x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\ge\frac{1}{2}\)
\(P=3\left(x^4+y^4+x^2y^2\right)-2\left(x^2+y^2\right)+1=3\left[\frac{3}{4}\left(x^2+y^2\right)^2+\frac{1}{4}\left(x^2-y^2\right)^2\right]-2\left(x^2+y^2\right)+1\ge\frac{9}{4}\left(x^2+y^2\right)^2-2\left(x^2+y^2\right)+1\)\(=\frac{9}{4}\left[\left(x^2+y^2\right)^2+\frac{1}{4}\right]-2\left(x^2+y^2\right)+\frac{7}{16}\ge\frac{9}{4}.2\sqrt{\left(x^2+y^2\right)^2.\frac{1}{4}}-2\left(x^2+y^2\right)+\frac{7}{16}=\frac{9}{4}\left(x^2+y^2\right)-2\left(x^2+y^2\right)+\frac{7}{16}=\frac{1}{4}\left(x^2+y^2\right)+\frac{7}{16}\ge\frac{1}{8}+\frac{7}{16}=\frac{9}{16}\)Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1/2
Bài 4: Theo giả thiết, ta có: \(x\left(x+y+z\right)=3yz\)(*)
Vì x > 0 nên chia cả hai vế của (*) cho x2, ta được: \(1+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}=3.\frac{y}{x}.\frac{z}{x}\)
+) \(\left(x+y\right)^3+\left(y+z\right)^3+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\le5\left(y+z\right)^3\)\(\Leftrightarrow\left(1+\frac{y}{x}\right)^3+\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}\right)^3+3\left(1+\frac{y}{x}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}\right)\le5\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}\right)^3\)(Chia hai vế của bất đẳng thức cho x3)
Đặt \(s=\frac{y}{x},t=\frac{z}{x}\left(s,t>0\right)\)thì giả thiết trở thành \(1+s+t=3st\)và ta cần chứng minh \(\left(1+s\right)^3+\left(1+t\right)^3+3\left(s+t\right)\left(1+s\right)\left(1+t\right)\le5\left(s+t\right)^3\)(**)
Ta có: \(1+s+t=3st\le\frac{3}{4}\left(s+t\right)^2\Leftrightarrow3\left(s+t\right)^2-4\left(s+t\right)-4\ge0\Leftrightarrow\left[3\left(s+t\right)+2\right]\left(a+b-2\right)\ge0\Rightarrow s+t\ge2\)(do \(3\left(s+t\right)+2>0\forall s,t>0\))
Đặt \(s+t=f\)thì \(f\ge2\)
(**)\(\Leftrightarrow4f^3-6f^2-4f\ge0\Leftrightarrow f\left(2f+1\right)\left(f-2\right)\ge0\)*đúng với mọi \(f\ge2\)*
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z
Cho 3 sô thực x,y,z . CMR:
\(\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
Dễ lắm bạn! Biến đổi tương đương là ok á!
\(3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(VT\ge3\left[\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\right]=\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{3}=VP\left(đpcm\right)\)(bất đẳng thức svacxo)
Chứng minh với mọi x,y,z dương thì :
\(\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\le3\left(x^3+y^3+z^3\right)\)
Ta có : \(\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\le3\left(x^3+y^3+z^3\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^3+y^3+z^3\right)-x^2\left(y+z\right)-y^2\left(x+z\right)-z^2\left(x+y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x-y\right)+x^2\left(x-z\right)+y^2\left(y-x\right)+y^2\left(y-z\right)+z^2\left(z-x\right)+z^2\left(z-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)+\left(y-z\right)\left(y^2-z^2\right)+\left(z-x\right)\left(z^2-x^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)+\left(y-z\right)^2\left(y+z\right)+\left(z-x\right)^2\left(z+x\right)\ge0\) (luôn đúng vì x,y,z > 0)
Vậy bđt ban đầu được chứng minh
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho 3 số dương ,ta có:
(x2+y2+z2)(1+1+1)\(\ge\)(x+y+z)2
↔3(x2+y2+z2)\(\ge\)(x+y+z)2 (dấu = xảy ra khi x=y=z)
cho tập \(Â=\left\{x\in R|2x-1< 5\right\},B=\left\{x\in Z|-1\le x\le5\right\}\)
và C là tập giá trị hàm: y=x^2-2x+m trên \([-1;1)\)
a, tìm \(A\cap B\)
b, tìm m để \(C\subset A\)
\(a,\)\(A=\left\{x\in R|x< 3\right\}\Rightarrow A=\left(\text{ -∞;3}\right)\)
\(B=\left\{-1;0;1;2;3;4;5\right\}\)
\(\Rightarrow A\cap B=\left\{-1;0;1;2\right\}\)
\(b,x=-1\Rightarrow y=1-2\left(-1\right)+m=m+3\)
\(x=1\Rightarrow y=1-2+m=m-1\)
\(\Rightarrow C=(m-1;m+3]\subset A\)
\(\Rightarrow C\subset A\Leftrightarrow m+3< 3\Leftrightarrow m< 0\)
1. Cho \(x,y,z\in\left(0,1\right)\) và \(xyz=\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\). Cmr: \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{3}{4}\)
2. \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z\ge0\\x^2+y^2+z^2+xyz=4\end{matrix}\right.\) Cmr: \(x+y+z\le3\)
3. \(x\ne-2y\). Min : \(P=\frac{\left(2x^2+13y^2-xy\right)^2-6xy+9}{\left(x+2y\right)^2}\)
Câu 1:
\(2xyz=1-\left(x+y+z\right)+xy+yz+zx\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx=2xyz+\left(x+y+z\right)-1\)
\(VT=x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)^2-2\left(x+y+z\right)-4xyz+2\)
\(VT\ge\left(x+y+z\right)^2-2\left(x+y+z\right)-\frac{4}{27}\left(x+y+z\right)^3+2\)
\(VT\ge\frac{4}{27}\left[\frac{15}{4}-\left(x+y+z\right)\right]\left(x+y+z-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{2}\ge\frac{3}{2}\)
(Do \(0< x;y;z< 1\Rightarrow x+y+z< 3< \frac{15}{4}\))
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
Câu 2:
Từ điều kiện bài này có thể đặt ẩn phụ và AM-GM ra luôn kết quả, nhưng hơi rắc rối khi người ta hỏi từ đâu mà có cách đặt ẩn phụ như vậy, do đó ta giải trâu :D
\(x^2+y^2+z^2+xyz=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{4}+2\left(\frac{x}{2}.\frac{y}{z}.\frac{z}{2}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{xy}{2z}.\frac{xz}{2y}+\frac{xy}{2z}.\frac{yz}{2x}+\frac{yz}{2x}.\frac{xz}{2y}+2\left(\frac{xy}{2z}.\frac{yz}{2x}.\frac{xy}{2y}\right)=1\)
Đặt \(\left(\frac{xy}{2z};\frac{zx}{2y};\frac{yz}{2x}\right)=\left(m;n;p\right)\Rightarrow mn+np+pn+2mnp=1\)
\(\Leftrightarrow2\left(n+1\right)\left(m+1\right)\left(p+1\right)=\left(n+1\right)\left(m+1\right)+\left(n+1\right)\left(p+1\right)+\left(m+1\right)\left(p+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{n+1}+\frac{1}{m+1}+\frac{1}{p+1}=2\)
\(\Leftrightarrow1=\frac{n}{n+1}+\frac{m}{m+1}+\frac{p}{p+1}\ge\frac{\left(\sqrt{n}+\sqrt{m}+\sqrt{p}\right)^2}{m+n+p+3}\)
\(\Leftrightarrow m+m+p+2\left(\sqrt{mn}+\sqrt{np}+\sqrt{mp}\right)\le m+n+p+3\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{mn}+\sqrt{np}+\sqrt{mp}\le\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\le\frac{3}{2}\Leftrightarrow x+y+z\le3\)
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn \(x\left(x+y+z\right)=3yz\) . CMR:
\(\left(x+y\right)^3+\left(x+z\right)^3+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\le5\left(y+z\right)^3\)
Mấy BĐT dài thế này bạn ko cần tag mình đâu, vì chắc chắn là mình ko làm, chỉ gõ chữ thôi đã ngán lắm rồi.
Hướng dẫn sơ qua là bạn biến đổi giả thiết:
\(x^2+xy+xz=3yz\Leftrightarrow x^2+xy+xz+yz=4yz\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x+z\right)=4yz\)
Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn \(\left|x-1\right|\le3;\left|y-2\right|\le670;\left|2\left(z+x-1\right)+y\right|\le6\)
Chứng minh rằng \(\left|xy+2z\right|\le2016\)